《超越无穷大》| 换种思维方式,拯救被数学支配的恐惧

《超越无穷大》| 换种思维方式,拯救被数学支配的恐惧

第 22 期

如何让自己喜欢的那块巧克力,永远也吃不完?是从0到1之间小数的数量多,还是从1到∞之间整数的数量多?当一位客人走进一家拥有无穷多个房间的旅馆,而这家旅馆里已经住满了无穷多的客人时,这位新客人还能入住吗?《超越无穷大》是一本充满活力而友好的指南,跳脱出数学课的繁重枯燥,用“好吃又好玩”的方式对生活中极限思维的发现与运用,做出了通俗幽默的解读,发掘出数学的概念之美。


无穷:数学世界里的尼斯湖水怪

数学可以被想象成很多事物:一门语言、一种工具、一个游戏。

然而,当学生努力做家庭作业或者准备考试的时候,它可能不那么像是一个游戏,更多的是被数学这门科目支配的恐惧。然而,数学思维是解决问题的重要基础。

我们在逻辑上能够解释的事物处在观念宇宙的中心位置,而数学的目标就是将尽可能多的事物纳入这个范围。

人类从只能数到3的酋长,进化成今天为AI输入程序的工程师。从某种意义上来说,人类的发展史也是一部数学进化史。而人类对“无穷”的认知,代表了一种思维能力的进化。

事实上,这本书一点儿都不像是关于“无穷”这个数学概念的。它讲的是一个不可思议的奇妙旅程:抽象的思考是怎样进行的,以及这类思考能帮助我们做什么。当我们开始产生一个有趣的想法时,这本书可以帮助我们找到这个想法的本质。

就本书而言,它可能并不会解释所有的事情,但是它可以帮助我们搞清楚,借助无穷这个概念,我们可以做什么,不可以做什么。

如果你问一个小孩子无穷是什么,他可能会说“它比任何数字都更加大”。这话没错,但还是没有告诉我们无穷是什么。就像“姚明比你见过的其他人都要高”并没有告诉我们姚明是谁一样。这本书的第一部分将帮助我们弄懂无穷是什么。

从孩子们在学校里听见无穷这个概念起,问题就开始了。一除以零是不是等于无穷?一除以无穷是不是等于零?如果无穷加上一还是无穷的话,那么无穷减去无穷是什么呢?

面对孩子们提出的这些看起来无法回答的数学问题,大人们可能会觉得难为情。因为大人们总会觉得自己需要知道所有的答案。但是数学教育家和创新者克里斯托弗·丹尼尔森说,学习的一个重要的方面就是能够提出新的问题,这比陈述新的事实更加重要。

无穷的不可思议

下面是本书中会探讨的关于“无穷”概念的一些令人费解的题目或结论:

如果你有一个有无穷房间的旅馆,而这个旅馆已经客满了,你是否还可以通过将每一个客人挪后一个房间来容纳下一个客人?

如果一个彩票机里面有无穷多个号码球,你中奖的概率有多大?

一些无穷比其他的无穷要大!

无穷的袜子在某种程度上比无穷的鞋子多。

如果我能够获得永生,那么我可以一直磨磨蹭蹭。

你从甲地到乙地旅行,你需要经过两地之间的中点,然后经过剩余路程的中点,然后再经过剩余路程的中点,以此类推。剩余的路程永远有中点,那么你永远也到达不了你的目的地。是不是这样?

循环小数 0.9999…等于1。

一个圆形是不是有无穷条边?

为什么数学好的人也会在微积分上卡壳?

……

无穷能够通过不同的方式激发任何年龄段、任何知识水平的人的热情。这本书将会带领大家探索无穷并且超越无穷。

如果你仔细思考并且使用正确的方式思考的话,你就会理解确实存在超越无穷的可能,就像我们总有更多的可问的问题和更多的值得探索的事物一样。

数学有一个很沉重的负担,就是实用性。在这本书的第二部分,作者将利用关于无穷的观点来审视我们周围的世界。

它可能存在于我们用来玩乐的镜子里,存在于我们追跑打闹的路径中,存在于我们的每一段旅程里,存在于我们无穷变幻的世界的每一个情景中。

即便你在5 岁之后就不再学习任何关于无穷的知识了,你还是能够生活得一样好。但是对于我们来说,数学的价值并不在于“过日子”,而在于数学的思维方式为我们的思索带来了光明。与解决一个具体的问题或者开创一个具体的技术相比,启发是数学带给我们的一个更为微妙而又不那么引人注目的好处。

维度的连续性:为什么人们做决定那么难?

有时候,当你对某种情况进行“利弊”评估时,你会发现标准与标准太难区分开了。可能你正在评估不同的工作,你会考虑工作满意度还有自我价值实现程度。但是这两项标准是有重叠的,因为你在工作中的自我实现也会提升你的工作满意度。也许,自我价值实现程度只是工作满意度的一个方面?

于是你开始将工作满意度分解成越来越多的更详细的标准。但是当你这么做的时候,它们之间的边界也会变得越来越模糊。最终你会发现,你制定的标准本身也是一个连续体。

这就意味着,你不仅是在连续体中评估每一个标准,而且标准本身也处于一个连续体中——你实际上处在一个维度数量不可数的多维度空间中。于是乎,你便很难做出决定。

跨越逻辑边界:无穷的生活,无穷的乐趣

世界上没有真正无穷的事物。但是若考虑你在圆圈上能行走的路径,那么圆圈就是一种无穷。

圆形或椭圆形赛道是非常聪明的设计,因为你可以在上面进行任何长度的比赛。地铁的环形线路更有趣,因为你可以永远坐在地铁上,一圈又一圈地前进。与在一个非环形线路的两个终点站之间来回往返相比,乘坐环形线路更像是一场无穷的旅程。

圆圈还有一个更有趣的版本,就是莫比乌斯带。它是用一个纸条做成的,你将纸的两端粘在一起之前翻转一下纸条的其中一端。

关于莫比乌斯带有一个有趣的事实:无论是在物理上讲还是在数学上讲,由于你已经把纸条一端的前面粘在了另一端的后面,把这一端的后面粘在了另一端的前面,这意味着这个纸条现在就只有一个面了——里面和外面变成了同一个面。

《超越无穷大》| 换种思维方式,拯救被数学支配的恐惧

你可以用莫比乌斯带做许多有趣的事,最简单的一个就是,你可以拿起它,然后让你的手指沿着纸条移动。相比于沿着一个圆圈移动,沿着莫比乌斯带移动更容易让人迷失方向,因为你会困惑于你的手指现在是在里面还是在外面。因为里面和外面并没有区别。

你还可以尝试沿着莫比乌斯带的边缘追踪你的手指。它的边缘是个简单的圆圈,但是这个圆圈在回到起点后又会“绕着” 莫比乌斯带走一遍。虽然事实上它只有一圈。边缘的轨迹是一种像“8”的图形,这又是另一个可以永远一圈又一圈绕行下去的令人满意的形状。

《超越无穷大》| 换种思维方式,拯救被数学支配的恐惧

生活在无穷的维度里为我们带来了无穷的我们无法解释的精妙之处。即使我们一直静静地坐在我们大而有限的世界里,无穷还是会持续到永远,而且无穷的等级也会持续增加到永远。也许我们已经不再惊讶于一些无穷的事物能够装载在一些有限的事物里。涉及无穷的事物,似乎一切都是可能的。

但生活中和数学中存在一个美丽与实际的权衡问题。数学世界装在我们的大脑里,但它比宇宙还要大。

因此,试图解释清楚所有事物并不是关键,关键是我们尽可能多地去解释我们能够解释的事物。这便是人类不断进步地根本动力,也是思维拓展的源动力所在。

《超越无穷大》| 换种思维方式,拯救被数学支配的恐惧

《超越无穷大》

作者:[] 尤金妮娅•程

译者:杜娟

出版社:中信出版集团

出版时间:201851

“新校长传媒”投稿邮箱:2594889720@qq.com

期待您的精彩分享

往期回顾

《未来的学校》| 70个最新全球学校创新案例带来哪些启示?

《全世界都想上的课》| “破落户”学校逆袭为日本第一,只因一堂语文课?!

“避暑书单” | 这个暑假,唯旅行和读书不可辜负

作者 | 蒲公英书房(ID:pgyshufang)

责编 | 张光

点击「阅读原文」,一键订购

始发于微信公众号: 新校长传媒

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据